Funciones analíticas

Si es un abierto, y (donde ) es una función analítica (i.e., f es una función analítica en todo un abierto menos un punto), entonces se dice que z₀ es una singularidad de la función. Existen tres tipos de singularidades:

Singularidad evitable: Si , la singularidad es removible y es posible extender analíticamente la función a todo A. En este caso, la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene todos sus coeficientes de índice negativo iguales a cero. Ejemplo: 0 es una singularidad removible de la función f(z) = sin(z) / z, y se extiende mediante f(0) =

Polo: Si , entonces la singularidad es un polo. En este caso, se dice que la función es meromorfa Se cumple que la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene una cantidad finita de coeficientes de índice negativo no nulos. El último índice negativo cuyo coeficiente es no nulo se llama el orden del polo. Ejemplo: 0 es un polo de orden 1 de la función f(z) = 1 / z

.Singularidad esencial: Si 0, f(B(z_0,r)-z_0)" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/7/3/9737b1f52cecdc030f7cad27b00173be.png" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-width: initial; border-color: initial; vertical-align: middle; "> es un conjunto denso en , entonces la singularidad es esencial. En este caso, la Serie de LAURENT de la función alrededor de este punto tiene una cantidad infinita de coeficientes de índice negativo no nulos. Ejemplo: 0 es una singularidad esencial de la función f(z) = e^{1 / z}.

Continuidad en funciones de variables complejas

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C.
Es decir, f: A ⊆ C −→ C. Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z).

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades.